'수학'과 '이론물리학'의 동침 by Atiyah Physics[物理]

                                            
[기하와 물리:우리는 어디로 가고 있나?]

1997 덴마크 오덴스(Odense)대학 여름학교 물리,기하,위상기하분과

강연자 : Michael Atiyha ( 케임브리지:트리니티 칼리지)

이 강연의 목적은 기하학과 물리학간의 상호관계에 대한 개괄을 제공하는데 있습니다. 강연은 세개의 부분으로 구성될 것입니다.; 첫째로, 역사적인 조명, 그 다음엔 오늘날 물리학과의 관련속에서 이점을 얻은 몇 수학 분과를 펴볼 것이며 마지막으로는 현재의 몇몇 탐구들을 조망해볼 것입니다.



1.역사와 철학

뉴턴, 라플라스, 해밀턴으로 대표되는 "고전의 시대"(Classical era)에는 물리와 수학이 그 근본법칙(disciplines)에 있어서 아주 작은 차이만을 가질 뿐이었습니다. 특히 미분방정식에 대한 연구를 포함한 기하와 해석학은 그 통합의 역할에 열쇠 역할을 하였습니다. 그런데 현대에 와서는, 물리와 수학간의 커져 가는 분리를 목격해 왔습니다. 물론, 그 둘은 계속 긴밀히 연관을 가지고 있기는 합니다.

19세기말에 도입된 맥스웰의 전자기이론은 1930년대의 호지(Hodge)이론의 한 근원이었습니다. 그리고 더 잘 알려진 예는 아인슈타인에 의한 일반상대성 이론과 미분기하학간의 관련입니다. 비록 아인슈타인이 로렌츠 좌표계를 다루었다고 하나 그 기하학적 형식은 리만의 경우와 유사해보이며 리만 기하학은 아인슈타인의 업적에 큰 역할을 했습니다.

마침내 누군가는, 1920년대에 이룩된 양자역학을 언급하기도 합니다. 이것은 역시 수학의 여러분야-연산자 영역(areas of operator), 스펙트랄 이론(spectral theory), 그리고 리 군의 표현이론(representation theory of Lie groups,특히 무한 차원 표현)등에 의해 도움 받았습니다.

반면에, 기하학으로부터의 직접적인 영향은 적었습니다. 사실을 말하자면, 이 시기 동안에 물리와 기하의 따로 나감은 두드러졌습니다.

그런데 지난 20년전부터 이 둘이 다시 근접하기 시작했습니다.


이러한 관점에서 볼때, 현대 물리학에서의 주된 관심사와 관련한 문제들을 언급하는 것은 좋은 도움을 줄 것이라 봅니다. 첫번째 주제는 비가환(주:non abelian을 이하 비가환으로 표기) 게이지 이론에 관한 것입니다. 맥스웰의 전자기 이론을 비가환군을 따르는 U(1)으로 대체하는 일반화가 있습니다.

그러한 비가환군은 현대 소립자 물리학에서 중요한 위치를 차지합니다. 이 (비선형적인) 이론들은, 수치해(numerical of answers)의 근사를 얻어내기 위한 섭동기법(purturbative methods)의 사용입니다. 그러한 기법들은 언제나 적용 가능하지는 않은데 그래서 물리학자들은 비섭동적인 측면(non-pirturbative aspects)에 대해서도 역시 관심을 가집니다.

또다른 문제들은 중력과 관계된 것입니다. 이에 해당하는 의문들중 어떤것은 우주론(cosmology)인데 빅뱅 직후의 우주의 상태와 관련된 것들입니다. 그 의문은 "잃어버린 질량"(missing mass)또는 "암흑물질"(dark matter)이 어떤 독특한 입자들에 의해 결정된다고 추측하는, 입자물리학와 관련한 우주론에 의해서 예견됩니다.

양자중력론은, 아주 초기의 우주의 순간의 극단적인 조건들을 연구함으로써, 아직 그러한 이론이 존재하지 않음에도 불구하고 위의 두 이론들을 결합하려는 시도를 하고 있습니다.

물리학의 진보에 있어서 현재의 장애는 이러한 새 이론들이 점점 더 큰 에너지와 그에 따른 막대한 금액을 필요로 한다는 점입니다. 이는 아마도 "장론"(field theory)을 입증하는 데이터를 찾는 게 가능하지 않을지도 모른다는 것을 뜻합니다. 실험의 결여는 물리의 구조를 이루는 중요한 한 축을 잃어버린다는 것을 의미합니다.

이것은 순수히 이론적인 모델들의 중요성을 이끄는데 그것은 실험보다 저렴하기까지 합니다! 알려진 방대한 실험적 사실들과 일치해야만 하기때문에 그러한 이론들을 만드는 것은 쉽지는 않습니다. 그러한 이론들은 매우 복잡하고 난해하며 내부적인 일관성이 검증되어야만 하기때문에 자명하지 않은 문제가 될 수도 있습니다.

특별한 관심사로 떠오른 두가지 타입의 모델은 1.초대칭(super symmetry)과 2.초끈이론(super string theory)입니다. 초대칭은 개별적인 종류의 입자들에 대해 그의 초대칭적인 관련쌍(super symmetry partner)이 존재해야 한다는 것입니다.;예를 들자면 보존(boson)은 페르미온의 쌍(fermionic partner)를 가져야하고 그의 역 역시 마찬가지입니다. 비록 수학적으로 아름다운 이 이론들이 현재로서는 아무 실험적인 근거를 가지고 있지 못하지만 미래에는 실험이 초대칭을 입증할 것이라고 믿고 있습니다.

초끈 이론은 현존하는 입자이론들을 중력과 통합하려는 한 시도입니다. 초끈이론은 낮은 에너지 수준에 있어서는 알려진 입자이론들을 잘 만족합니다. 그것이 매우 방대한 수식들로 표현되지만 아직도 이해하기가 쉽지 않으며 수학자들조차도 그것을 받아들일 준비가 되어 있지 않은 경우가 많습니다.

물리학과 기하학의 현대의 증대되는 상호관계는 약 20년전부터 시작되었습니다. 그 당시에는 이것이 잠시 뜨거웠다 사라지는 것인지 아니면 영구적인 현상이 될것인지에 대해 확실히 알지 못했습니다. 오늘날의 시각에 따른다면 우리는 두 학문간의 연결고리가 갈수록 더욱 많아질 뿐더러 공고해지는 것을 목격 하는데, 그에 따라 오늘날의 물리학도들은 그가 거쳐야 할 과정에서 더욱더 많은 수학에 정통해야합니다.

(물리와 수학에 있어서의)상호관계 둘의 준칙들을 서로가 서로로부터 배우는 자연스러운 두가지의 진행모습을 가집니다.

처음에 언급했던 바와 같이 실험에 드는 시간과 돈의 점증하는 막대함은 인해 물리학자들이 진전의 수단으로서 수학을 더욱더 선호하게 만듭니다. 간단히 말해, 정확하게 납득되는 이론이 실세계의 근사로 간주될 것입니다. 물리이론의 한 검증은, 이것이 적합하고 흥미를 가질 만한 수학인가에 대한 판별이 될것입니다.

그런데 물리학자의 작업은, 일반적으로 엄밀하지는 않습니다. 예를 들자면, 양자장론(QFT:Quantum Field Theory)은 무한차원 공간에 대한 해석을 포함합니다. 그런데 이 이론은 아직까지 훌륭한 수학의 기반(footing)을 가지고 있지는 못합니다. 예를 들자면 초대칭은 종종 무한 차원을 설정하는 미분형식(differential forms in an infinite dimensional setting)을 포함합니다. 아마도 다음 세기에 만일 이 이론이 엄밀해진다면 무한차원의 문제와 관련된 수학의 새로운 분과가 나타날것입니다. 물리학자들은 대개 수학자보다 엄밀함의 결여에 큰 신경을 쓰지 않습니다.

누군가는 수학자를, 말의 규정적 구조(formal structure of language)에 관해 숙고한다는 점에서 언어학자professional linguist와 닮았다는 유추analogy를 주장할지도 모릅니다. 이에 비해 물리학자들은, 이를테면 이론의 문법적 구조(grammatical structure)에 대해 심각히 숙고하지 않으면서도 이 말(수학)을 완벽하게 성공적으로 사용하는 그런 사람들이라고 할 수 있습니다.



2. 사례들

이 장에서는 현재 물리학에 큰 영향을 미치고 있는 몇 수학적 발전상황들을 간단히 조망하겠습니다.

타원 코호몰로지(Elliptic Cohomology) : 이 이론의 한 뿌리는 계수로서, 모듈라 형식인 다양체(manifold of modular forms)의 고유수(eigen value)를 가지는 멱급수(power series)에 대한 관찰 입니다.

위튼(Witten)은 이 경우에 대해, 닫힌(closed) 무한 차원에서의 양자장론과 디랙 방식의 연산자(Dirac-type operator)들을 이용하여 접근하는 방법을 제안했는데 엄밀한 취급은 보트(Bott)와 타우브스(Taubes)에 의해 이루어졌습니다.

수학적으로, 이것은 타원 코호몰로지라 불리우는 일반화된 기하학을 부상시켰습니다. K 이론을 따르는 정상 코호몰로지(ordinary cohomolgy)가 있고 그 다음에 타원 코호몰로지가 나오는 계층구조(hierachy)입니다.

양자 코호몰로지(Quantum Cohomogy) : 이 이론은 역학에서의 해밀톤 이론을 따르는 대상들의 집합인, symplectic 다양체에 적용됩니다. 다양체의 표준 코호몰로지군은 아마도 계층화되고(graded) 그 안에서 환(ring)의 곱(multiplication)이 코호몰로지의 원소들과 원들(circles)에 의해 이중적으로 교차되는 H* 환과 결합될 것입니다.

양자적 코호몰로지는, 연속적으로 이러한 고리 구조를 기형적으로 변형시키는데 변형 변수(deformation parameter)가 0으로 가려고 하기 때문에 우리는 통상 표준 코몰로지(standard cohomolgy)로 복구시켜야 합니다. 그리고 양자 코호몰로지의 링구조는 Z/2라는 grade를 취할 수 밖에 없습니다.

대략적으로 말하자면 우리는, 어떤 원이 교차하는 점의 수에 대한 셈(counting)을 정의하는 것에 따라 H의 곱을 생각해도 좋습니다. 그런데 양자적 코호몰로지에 있어서는, 유리 곡선(rational curves)이 원(의triple)과 만나는 갯수의 셈(counting)에 의해 정의됩니다.

양자적 코호몰로지는, 사실 그 기원을 (1+1) 차원의 양자장론에 두고 있는데 지금에 와서는 그 엄밀한 다룸이 가능해졌을 뿐더러 복소 그라스마니언(complex Grassmanians)을 포함한 몇몇 공간에서는 계산(calculation)도 가능합니다.

거울 다양체(Mirror Manifolds) : 완만한 대수적 다양성(smooth algebaic variety)을 가지는, (칼라비-야우 공간Calabi-Yau spaces)과 같은) 집합에서의 M 또는 동일한 집합 안에서 다른 다양성을 가진 M*이 이것의 중심 주제입니다. M*은 M의 거울(Mirror)상입니다. 어떤 다양체와 이의 Mirror는 같은 차원을 가지지만 보통 복소다양체(complex manifolds)의 측면에서는 차이를 갖습니다. 예를 들자면 이 둘은 서로 다른 호지 수(Hodge number)를 갖습니다. 이것은 때때로 쉽게 ("고전적으로"Classical) M*으로 변환(interpretation)되던 것이 어렵게(또는 "양자적으로"Quantum) 변해버리는 문제를 낳습니다. 우리는 칼라비 야우 다양체에서 계수(degree) d를 가지는 유리곡선의 수에 관한 추측(conjecture)을 얻을 수 있습니다.

이 이론의 기원 또한 양자장론에서 비롯되었습니다. M과 M*의 아이디어는 동일한 장론에서 증대되어 출현합니다. 그 결론들이 아주 엄격하기도 하다가 또 마구 덧 댄듯 엉망으로 보이기도 하기 때문에 아직 완벽한 이론으로서는 부족합니다. 거울상mirrors의 많은 예가 알려지게 되어서, 그 근저에는 어떤 중요한 이론이 존재할거란 강한 증거(numerical evidence)들이 있습니다.

모듈라이 공간(Moduli Spaces) : 개략적으로 말해서 이것은, 동일함의 표현(notion of equivalence)이 모듈의(modulo) 문제인 변수화된 해의 공간들입니다. 이 주제는 자주 논쟁의 여지를 발생시킬 것입니다. 이제 우리는 두가지 사례를 언급하겠습니다. 이것들 중 하나는 리만 곡면에서 동일한 랭크와 디그리를 갖는 정적 번들(Stable bundles)을 가지는 모듈라 공간입니다. 이것들에 대해선, 60년전부터 수학자들에 의한 연구가 계속 되었지만 지난 수년간 코호몰로지 링과, 모듈라이 공간의 부피(volume)와 양자화(quantisation)가 관련되면서 놀라운 진전들이 있었습니다.

물리학으로부터의 기법들-특히 베를린데(Verlinde) 방정식이 대수방정식의 이러한 문제들에 대한 이해의 진전에 중추적인 역할을 하였습니다. 엄밀한 수학적 증명 역시 물리학을 통한 결과들로부터 발견되었습니다.

또다른 예는, 리만 곡면-modulo demorphisms인-의 복소구조에서의 모듈라이 공간입니다. 이것은 대응되는 체군(mapping class group)에 의해 수축성을 가지는(conractable) 타이흐뮬러(Teichmuller) 공간의 지수인데 매우 복잡한 위상을 가지고 있기도 합니다. 이 모듈라이 공간에 흥미를 가지는 2차원 중력을 다루는 물리학자들은 이 위상에 대해서 새로운 추측과 결과들을 이끌어냈습니다.

존스-위튼 이론(Jones Witten Theory) : 보언 존스(Voghan Jones)의 변형매듭(The knot invariants)들은 연산자 대수이론으로부터 탐구되었습니다. 그것들은 위튼에 의한 (2+1)차원 양자 장론에 의한 해석에 따라 주어지는데 그의 업적은 또한 3차원 다양체에 대한 정의를 이끌어내기도 했습니다.

도날드슨과 플로어의 이론(Donaldson & Flower Theory) : 1980년대에 도날드슨은 모듈라이 공간 기법을 이용하여 4차원 다양체에 대한 새로운 결과와 변형(invariants)들을 유도해냈습니다. 원래 이 작업과 물리에 대한 관계는 어딘가 접하는 성질의 것이었습니다. 그 시발점이 양-밀스(Yang-Mills)의 비가환 게이지 장론이었지만, 4차원 다양체 연구에 대한 양-밀스의 모듈라이 공간 연구는 별로 물리처럼 보이지 않기까지 합니다. 더 오늘날에 와서는 도날드슨의 이론과 3차원에 대한 그 딸이론(플로어 호몰로지homomology)은 위튼에 의해 (3+1)차원 위상 장론의 형식으로 해석되었습니다.(앞의 이론은 (2+1)차원 이론입니다.) 도날드슨 이론에 대해 새로운 해석을 주는 사이버그(Seiberg)-위튼의 4차원 다양체의 변형 이론 역시 물리적 고려로부터 생겨난 것입니다.

간략히 요약해보자면, 개념적 틀(frame work)들을 통합하는 방식으로 물리가 제공하는 수학의 광범위한 결과들을 우리는 목격할 수 있습니다. 매우 거친 유추가, 대수의 여러분야에서 표현이론(representation theory)을 나타나게 하는데 길이 될 수 있을지도 모릅니다. 대부분의 물리적인 이론들이 엄밀함을 결여하고 있다고 우리 수학자들은 현재 말합니다. 수학자로서 이에 대해 두가지 태도를 취할 수 있습니다. 한편은 물리학자들의 예측에 의한 각각의 예들에 대해 전통적인 증명을 시도하려 하는 것이고 다른 한편은 물리학자들의 접근방식을 정식화(formalize)시키려 시도할 것입니다. 두번째 관점은, 현대 기하학에서 중심적 역할을 해온 것으로 보이는 장론의 근사화와 공고한 구축에서 보입니다.

나는, 물리적인 통찰이 수학의 방법론 및 개념과 그 결과들에 어떻게 암시를 주는가에 대한 또다른 유추를 보이면서 이장을 마치겠습니다. 지난 세기의 초에 코시(Cauchy)는 복잡한 평면에서의 외형선 적분(contour integral)에 이미 존재하는 타당히 이해될 수 있는 방법을 사용하지 않았습니다. 이것의 적용에 많은 주의를 필요로 했지만 이는 곧잘 전통적인 실변수 방법에 의해서만 검증될 수 있는 명백한(explicit) 식들에 의해 이루어졌습니다. 현대의 연장 선상에서, 코시의 적분은 위상적인 의미에서 파인만(Feynman) 적분과 같은 것입니다. 이것은, 엄밀한 정의는 가지고 있지 않지만 앞서의 예들에서 보듯, 현대수학에 극히 영향을 미쳤음이 입증됩니다.



3.현재의 진전들

이제 나는 지난 몇년간의 도날드슨과 사이버그-위튼 이론의 진전에 대해 집중하려 합니다. 도날드슨의 업적의 시발점은 초기에 논의된 비 아벨리안 게이지이론의 한 예였던 양-밀스 이론이었습니다. 양-밀스는 4차원 다양체 M을 정의하였는데 그 작용은 A가 곡률 F sub A의 연결점일 때

A <-> integral M sqrt || F sub A ||

으로 주어집니다. 작용(action)은 자가 이중적인 양-밀스 방정식의 해인 인스탄톤에 의해 최소화됩니다. 이 인스탄톤을, 전하라 알려진 상수 k와 관련시킨후, 상수 k인 인스탄톤의 모듈라 공간에 대해 연구할 수도 있습니다. 여기서 M은 대수기하에 의해 정의되는 복소 대수 곡면이며 모듈라이 공간을 이용하여 도날드슨은 다양체 M의 여러 변형들을 정의했습니다. 그것들이 리만 행렬을 따르는 M의 선택에 의존하지 않고, 부드러운(smooth)곡면들의 변형이라는 사실을 보이는 것은 이의 핵심적인 사항입니다.

우리는 양-밀스 이론을 전자기 이론과 비교해볼 수 있습니다. 둘 다 게이지 이론이지만, 양-밀스의 비가환군들의 세계는 비선형 방정식들을 이끌어냅니다. 이 주제를 탐구하는데 있어, 누군가는 도날드슨의 업적은 대략적으로 보아 조화형식(harmonic forms)과 관련한 인스탄톤(instanton)을 갖는 "비선형 호지 이론(non-linear Hodge thory)"의 한 종류로 분류하기도 하는데 도날드슨 변형은 베티수(Betti number)와 관련되는게 사실입니다. 이 두 이론들에서 행렬이, 그 기본 방정식(fundermental equations)들을 정의하는데 쓰이지만, 생성되는 변형들(invariants)은 행렬에 의존하지 않습니다. 우리의 그전의 논의들이 완전히 고전적이었기 때문에, 우리는 양-밀스적 관점의 양자 장론을 무시해왔습니다. 그렇기때문에, 도날드슨 변형에 대한 물리적 해석이 존재할 수 있는가에 대해 묻는것은 자연스러운 것이었습니다.

위튼은 80년대 초에 도날드슨 이론이, 양-밀스 양자장론의 꼬아진(twisted) N=2 초대칭으로 간주될 수 있을지도 모른다는 것을 보였습니다. 여기서의 "꼬아짐(twisting)"은 실제 입자의 스핀 변환(changing of spin)을 포함하며 그 이론을, 행렬 비의존적인 위상적 장론으로 만들었습니다.

처음에는 이것이 되돌아가는 방법으로 보였는데 왜냐하면, 이것이 도날드슨의 원래 이론보다 덜 엄밀하면서 게다가 4차원 다양체에 관해 새로운 정보들을 주는 것도 아니었기 때문입니다. 하지만 최근에는 물리적인 관점이 많은 극히 풍부한 결과들을 입증해왔습니다.

이를 이해하는데 있어, 크론하이머(Kronheimer)와 므로브카(Mrowka)에 의해 최근에 얻어진 근본적인 성과들을 상기해봅시다. 4차원 다양체 곡면을 게이지 장론적으로 다루는 응용에 의해 그들은, 도날드슨 불변(invariants)에 대한 재귀적 관계를 발견하고, H over 2 (M) 기본집합의 유한수와 함께 M의 형식간의 상호관계(interaction of forms)의 인자로 표현될 수 있는 이 불변들에 대해 생성된 함수-4차원 다양체 M의 집합을 보였습니다.

위튼은, 이 기본 집합들이 닫힌 대수적 곡면에 대해서 정준적 분모(canonical divisor)로 기술될 수 있음을 보였습니다. 그의 주장은 물리적이었고, mass gap을 보이는 도날드슨 양자장론에서의 섭동을 포함하는 것이었습니다. 이것은 게이지 입자의 질량이, 대응되는 힘을 지수함수적으로 감쇄시키기 위해 0으로 가 버린다는 것을 의미합니다.

계속되어온 최근의 진전들은 "이중성(duality)"에 대한 언급을 포함합니다. 초기의 한 예는 맥스웰 이론에서 전기와 자기 사이에 나타나는 이중성(duality)입니다. 이중성에 대한 좀 더 다듬어진 것 중 하나가 몬토넨(Motonen)과 올리브(Olive)에 의해 추측된 비가환 게이지 이론을 다루는 이론입니다.

그들은 G군을 가지는 것으로 주어지는 양-밀스-힉스Higgs 게이지 이론을 주장하는데, 그것은 '이중적(dual)' G군을 가지는 이중성 이론으로 규격화할 수 있었습니다. 그러한 방식에서 게이지 입자들은 그 이중 이론 안에서 자기단극자(magnetic monopole)를 가지는 하나의 이론에 의한 물리적 힘과 조정되며 그 역 역시 성립합니다. 이 이중성은, (대칭의 존재에 대한 뇌더(Noether) 정리에 따르는) 전하와 (힉스장의 디그리와 관련되어) 자연안에서 위상적인 자하를 서로 상호교환시킵니다. G의 최대 토로이드(maximal tori)와 이것의 이중군은 일반적인 Tori의 측면에서 볼때 이중적이라고 할 수 있습니다. 올리브와 위튼은 이 이론의 초대칭판(super symmetry version)을 만들어냈습니다.

G와 G* 사이의 이중성은 수론의 langland와 나란히 호기심을 자극해 왔습니다. 극히 최근에는 센(Sen)이, 이러한 이중성이 단극자 모듈라이 공간의 L over 2 코호몰로지에 관한 결과를 암시한다는 것을 보였습니다. 그의 업적은 특별히, L over 2 코호몰로지에서 자명하지 않은 결과들의 체로 표현되는 정규화 가능한 자가이중적 조화형식(harmonic self-dual forms)의 존재를 예견합니다. 간단한 예들안에서 이는 보다 공고화되어 왔는데, 그에 대한 보다 일반적인 조사들이 현재의 연구주제입니다.

이제 4차원 다양체에 관한 이론으로 돌아가 봅시다. 1994년에 위튼과 사이버그는 이중성의 아이디어를 이용하여 이 분야에 있어서 극적인 진전을 이룩했습니다. 그들은 복소수 u로 변수화되는 상태들의 족(family)인 초대칭 게이지 장론을 연구하였습니다. 수학적으로 u는 +1 과 -1 그리고 무한대로 축퇴되는 타원곡선족들의 변수화에서 보여집니다. u가 +1 또는 -1 로 접근해가면 자기단극자는 무질량이 되며 이중성을 따르는 장론에 따라 그것들을 이용 가능합니다.

이 접근방식은 특히 N=2 초대칭이 도날드슨 변형에 대해서 적절히 관련되도록 하는 역할을 수행하며 N=1에 대해서는 최근에 사이버그에 의해서 연구되어 왔습니다. 이 작업에 대한 물리적 관심은, 강한 결합(strong coupling)과 약한 결합(weak coupling)을 서로 상호교환(interchange)케하는 이중성에 대한 관찰로부터 비롯되었습니다. 강한 결합의 영역에서 섭동 이론은 무용화되지만, 약한 결합에서는 유효합니다. 그러므로 이중성은, 강한결합을 공략하는 의미를 가집니다. 특별히 이는 쿼크의 속박(quark confinement)을 암시합니다.

사이버그 위튼 이론은, 도날드슨 이론이 비가환적 이론이었던 데 반해 보다 단순한 가환적 게이지 이론이었습니다. 기본적 데이타들은, 스피너(spinor) 입실론(그것은, 번들S+가 양의 번들 값을 가지는 S+ "*" L over1/2의 부분인) L over 1/2와 함께 하는 선 다발(line bundle) L의 연결점 A입니다. A와 입실론의 식들은 다음을 만족해야 합니다.(주: "*"는 텐서곱)

D sub A 입실론 = 0

F sub A+ = 입실론 * 입실론 bar - 1/2 sqrt|입실론| Id

D sub A가, D sub a가 a와 결합된 S+ "*" L over 1/2 에서의 디랙 연산자인 곳에서입니다.

도날드슨 이론에 따라서 사람들은 이 방정식들에 대한 해들의 모듈라이 공간을 연구합니다. 반면에 새로운 이론은 도날드슨의 그것보다 쉬운데 그것은 게이지 U(1) 군이 아벨리안이기 때문이며 결정적으로 이것이 "콤팩트"하다는 사실입니다. 그 변형들은 사이버그-위튼 모듈라이 공간을 이용하여 정의되는데 4차원 다양체의 새로운 발전에 충격들을 야기해왔습니다. 예를 들자면 CP(2)에서의 곡선에 대한 통(Thom)의 추측에 대한 증명입니다.

타우브스는 b+ sub 2 > 1을 가지는 4차원 단순 다양체를 고려한 해들을 증명하는데 그 변형들을 사용했습니다. 사이버그-위튼식은 말하자면, 그 식들이 해들을 가지는 라인 번들(Line bundle)에서의 천-체(Chern class)인 H over 2의 기본 체들을 곧바로 생성해냅니다.

물리적 관점에서 위튼은, 사이버그-위튼 이론이 기본적으로 도날드슨의 이론과 동일하다고 주장해왔습니다. 이 결과에 대한 증명과, 사이버그-위튼 방정식의 가환적 버젼을 사용하고자 하는 제안은 현재의 주요한 시도중 하나입니다.

다른 문제들은 b+ over 2 = 1 (변형invariants이 행렬 의존적이 될때)일때에 관한 좋은 이론을 얻어내는 일입니다. 이것은 도날드슨 이론과 사이버그-위튼 이론 사이의 이중성을 지켜보는것과 같은 것인데, 후자의 단순한 적용이라기 보다는 아마도 완전히 새로운 통찰(insight)을 제공하는 그런것이 될 것이라고 생각합니다.

-끝-

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(부록)

사실 끈이론에서의 수학은 "(복소) 대수 기하학"입니다. 하지만 이 분야는 각 부분만을 공부하기는 꽤 어렵습니다. 왜냐하면 이것이 애초에 모든 수학을 통합한다는 주제를 가져왔으므로 대수학과 기하학 그리고 복소해석의 전 분야를 포함하고 있기 때문이며 또한 너무 추상적이고 복잡한 때문도 있습니다. 역사적으로 볼때 대수 기하학은 리만이 복소대수곡선들을 분류하면서 나왔고 그로덴딕의 스킴이론이 나온후 더 추상적이 되어 갔습니다.

(1) "(복소)대수기하학"에 대한 과거에 논해진 관점-끈수학은 리만평면에 대한 복소해석으로부터 출발하며 때문에 이는 표현이론(리 군, 리 대수, 대수적 군, 자가동형 형식, 모듈라 형식등)과 미분기하학(20세기의 가장 유명한 정리인 아티야-싱어의 인덱스 정리를 포함하는), 대수미분토폴로지(기본군, 호몰로지, 코호몰로지, 호모토피), 그리고 심플렉틱 토폴로지등을 inherently 포함합니다. 리 군과 리 대수에 관한 표현(이)론은 미분기하학과, 대수적 군론이 요구되는 대수기하학을 이해하는데 초보적인 역할을 합니다. 이러한 수학들은 마찬가지로 TQFT(토폴로지적 양자장론)을 이해하기 위해 필요합니다.

(2) K-이론은 약간 맥락을 벗어나 있습니다. 이는 대수적 토폴로지의 한 분야로서 "비가환(미분)기하학 (양자적 기하학)"과 함께 활발히 연구됩니다. 비가환 기하학은 C*- 대수(functional analysis의 한 분야)를 이용해 모든 수학을 통합하려는 또다른 시도입니다. 이는 "아핀 리 대수", "양자적 대수" 그리고 "매듭이론(대수적 토폴로지의 한 분야)"들과 밀접히 연관됩니다만 사실 그것들은 동일한 것이 아니죠. 이러한 수학들은 CFT(등각 양자장론)과 양자 통계 물리학에 대해 폭넓은 응용성을 가집니다.

요약하자면, 대수적 토폴로지는 TQFT를 위해, 대수기하학은 끈이론/M이론을 위해, 양자군론/매듭이론/비가환기하학은 등각양자장론을 위한 것이라고 할 수 있습니다. 하지만 이것들을 따로따로 생각하기란 어려운데 왜나하면 그것들이 서로간에 매우 밀접히 연관되어 있기 때문입니다.

위에서 살펴본 수학들이 수학과 물리 양쪽에서 꽤 중요함에도 그것들은 여전히 수학에 속합니다. 수학에서는 어느 한 분야에 대해서조차 완벽히 마스터하기란 정말로 어려우며 어느 수학자도 (1)과 (2)의 두 분야에 동시에 전문가이지 못합니다. 넓은 분야에 걸친 깊지 못한 지식은 수학을 하는데는 별로 유용하지 못하며 단지 하나의 깊은 이론만이 요구됩니다.

----물리사랑 옛 마스터 였던 이동윤님의 번역입니다. 

덧글

  • 이동윤 2008/11/13 20:51 # 삭제 답글

    제목보고.. 내가 예전에 번역한거랑 비슷하네..했어요.
    전 요새 computer vision을 하고 있습니다. 퀀트들이 일자리 잃으면서 물리한 공부한 똑똑한 사람들이 이쪽으로 적쟎이 옮겨올거 같아 기대 반 걱정 반이예요 후후.. (저 비롯해 물리한 사람들이 많이 옮겨왔거든요.)
    그리고 글을 보니 신재호군하고 친하신 모양인데 재호 잘 지내나요?
    건강하고 성취있으시길 바랍니다.

    -이동윤 드림
  • HoonKP 2008/11/15 06:55 #

    아 저도 어디선가 퍼온 것인데 동윤 형님이 번역하신거라 반가웠지요. 아직도 저 내용의 태반도 이해 못하고 있는 것 같네요. 졸업할 때가 되면 많이 알게 될 것이라고 안일하게 생각했는데~ computer vision 쪽 연구하신다는 이야기는 전해들었는데, 재밌는 연구결과 들을 수 있었으면 하네요~

    그리고 재호는... 아마도 잘 지내고 있을거에요. 저도 여름 이후로 본 적이 없네요. 가끔 통화해서 안부를 묻고는 있죠.

    여하간 이렇게 뵙게되니 반갑군요!!!
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