소수가 무한개임을 topology 이용하여 증명

오늘 section 시간에 조교가 가르쳐 준 증명.

[Furstenburg's proof]

일단 정수 집합(Z)에 topology를 다음 베이스를 이용하여 주자.

B={aZ + b | a, b is in Z}

일단 이것이 basis임을 보이자.

(1) 임의의 정수 m 이 있다면 a=1, b=0인 base element가 포함.
(2) x가 a1Z+b1 과 a2Z+b2의 교집합에 들어있는 원소라고 한다면 이 x는 (a1a2)Z+x에 속할 것이고 이 집합은 앞에서 언급한 교집합에 포함되어 있다.

그러므로 일단 B의 모임은 정수집합에 topology를 준다. 

이제는 최종 증명에 쓰일 다음 두가지 proposition을  보이자.

(1) 공집합이 아닌 유한한 집합의 여집합은 closed일 수 없다.
     pf) 공집합이 아닌 열린집합 U = union for some a,b of (a Z + b) 은 무한하기 때문.
(2) a Z + b는 closed
     pf) a Z + b = Z - union of a=1 to b-1 (aZ+b) 여집합이 열려있으므로 closed

Z-{1, -1} = union over all prime p (pZ) 인데
LHS는 prop(1)에 의해 closed가 될 수 없고 RHS는 만일 {p}가 유한개라면 closed set의 finite union이기 때문에 closed 인데 이는 모순이므로 RHS의 {p}는 무한해야 함. Q.E.D